Chapter 2. Kinematics

2.1. Coordinate Transformations

2.1.1 World Coordinates

로봇을 개발할 때 가장 첫 번째로 생각해야 할 일은 무엇일까?
- 로봇의 각 part(link or joint)의 위치를 명확하게 정의하는 것
- 월드 좌표계를 사용해서 표현하자.
World Coordinates를 사용함으로써 로봇과 주변 객체, 물체를 성공적으로 잡는 것, 충돌 등을 define 할 수 있다.
World Corrdinates에서 사용되는 Position은 Absolute Positions 라고 불린다.
- 아래의 식을 이용하여 우리는 월드 좌표계 안에서 Absolute Attitude와 Absolute Velocity를 정의할 수 있다.

2.1.2. Local Coordinates and Homogeneous Transformations

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\(P_h : the\ hand\ tip\ position\)
\(P_a : the\ absolute\ position\ of\ the\ left\ shoulder\)
\(r : the\ position\ of\ the\ hand\ end\ relative\ to\ the\ shoulder\)

로봇 왼팔이 x축을 중심으로 파이만큼 회전을 할 때 월드 좌표계에서 어떻게 표현을 할 것인지 설명하려고 한다.
- Rotation Matrix의 정의와, local coordinate 상의 position, attitude를 표현하는 방법에 대해서 알아야 한다.
  - a frame의 x축, y축, z축으로 향하는 방향 벡터를 모아 Rotation Matrix로 표현할 수 있다.
  - Rotation Matrix R_a는 벡터 r과 r’ 사이의 관계를 나타낸다. 기존 r 벡터를 a프레임의 x축에 대하여 파이만큼 회전된 r’ 벡터를 나타내는 것이다.
  - local coordinate에서 a에서 바라본 h의 위치는 아래처럼 나타낸다.
- 위의 내용을 토대로 월드 좌표계에서 hand의 위치는 아래처럼 표현된다.
  - 위의 식을 행렬로 표현하면 아래와 같다.
  - 0과 1을 넣어주는 이유는 position vector P_a와 rotation matrix R_a를 함께 사용하기 위함이며 4x4 크기의 Matrix가 된다. 이 Matrix를 Homogeneous transformation matrices라고 한다.
  - 따라서, local 좌표계에서 표현된 위치를 world 좌표계에서 표현하기 위해 Homogeneous transformation matrix를 사용한다.
따라서, Homogeneous Transformation을 통해 World Coordinates에서 물체의 position과 attitude를 표현할 수 있다.

2.1.3 Local Coordinate Systems Local to Local Coordinate Systems

하나의 Local Coordinate System을 다른 Local Coordinate System으로 표현할 수도 있다. 위의 그림은 어깨에 해당하는 좌표계(Frame a)를 가지고 팔꿈치에 해당하는 좌표계(Frame b)로 어떻게 표현할 것인지 보여주는 그림이다.
Shoulder 위치 a에서 straight로 내리면 elbow의 위치인 b가 되며 a의 좌표계에서 표현된 방향벡터를 구할 수 있다. 이 때, straight로 내리는 것은 a 프레임의 y축을 평행이동 시킨 것이다.
따라서, a에서 바라본 b의 방향 벡터는 아래와 같이 나타낸다.
위 방향벡터를 가지고 a에서 바라본 b의 Rotation Matrix를 나타낼 수 있다.
- 팔꿈치를 회전할 때 각도 theta가 생성되며 아래의 행렬로 표현한다.
b 좌표계에서 표현한 hand position과 a 좌표계에서 표현한 hand position의 관계는 아래와 같다.
마찬가지로 Homogeneous transformation를 이용하여 표현할 수 있다.
- aP_b는 frame a에서 바라본 b의 position이며 y축에 대해 평행이동 시킨 거리이다.
지금까지 말한 것을 종합하면 월드 좌표계에서 hand의 position은 아래와 같이 표현할 수 있다.
homogeneous transformation의 곱을 통해 다른 좌표계에서 표현된 position을 world 좌표계로 표현할 수 있게 되었으며 T_b는 world 좌표계에서 표현된 homogenous transformation이다.
위와 같이 Homogeneous Transformation들의 Chain Rules을 통해 다른 좌표계를 하나의 좌표계로 표현할 수 있다는 것이다.

2.1.4 Homogeneous Transformations and Chain Rules

i 번째 frame에서 바라본 i+1 번째의 frame 관계를 나타낸 Homogeneous Transformation을 일반화 시켜보면 아래와 같이 표현되고
월드 좌표계에서 나타낸 Homogeneous Transformation은 첫 번째부터 마지막 frame까지 연속된 T의 곱으로 표현할 수 있다.

위의 형태를 chain rule이라고 하며, 체인룰을 통해 Robot의 Kinematics를 너무 복잡하지 않게 풀 수가 있다.

다음 시간에는 회전 운동의 특성에 대해 정리하고자 한다.